亚里士多德的三段论-第23部分
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我用起首的字母ａ，ｂ，ｃ，ｄ，…，表示亚里士多德逻辑的词项变项（ｔｅｒｍｖａｒｉCａｂｌｅｓ）。
这些词项变项以普遍词项作为它的值，如“人”或“动物”。
我用大写字母Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ表示亚里士多德逻辑的常项（中世纪的逻辑学家已经在这个意义上使用这些符号）。
借助于这两类字母，我构成亚里士多德逻辑的四个函项，书写时把常项置于变项之前：
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２１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
Ａａｂ表示 所有ａ是ｂ或ｂ属于所有ａ，Ｅａｂ表示 没有ａ是ｂ或ｂ属于无一ａ，Ｉａｂ表示 有些ａ是ｂ或ｂ属于有些ａ，Ｏａｂ表示 有些ａ不是ｂ或ｂ不属于有些ａ。
常项Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ都叫函子，ａ和ｂ叫做它们的变元（ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）。
所有亚里士多德的三段论都是由彼此相联系的这四种函项借助于“如果”和“并且”等词而组成。
“如果”
、“并且”
等词也表示函子，但它是与亚里士多德逻辑常项不同的另一类：它们的变元不是词项表达词（ｔｅｒｍ－ｅｘｐｒｅｓｉｏｎ）
，即具体词项或词项变项，而是命题表达式（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ
ｅｘCｐｒｅｓｉｏｎ）
，即是像“所有人都是动物”那样的命题，像“Ａａｂ”那样的命题函项或命题变项。
我用ｐ，ｑ，ｒ，ｓ，…，表示命题变项，用Ｃ表示函子“如果”
，用Ｋ表示函子“并且”。
表达式Ｃｐｑ即是“如果ｐ，则ｑ”的意思（“则”可以省去）
，并且叫做以ｐ为前件，ｑ为后件的“蕴涵式”。
Ｃ并不属于前件，它仅仅把前后件联系起来。
表达式Ｋｐｑ即是“ｐ并且ｑ”
的意思，并称为“合取式”。
在有些证明中我们还会遇到命题逻辑的第三个函子，即命题的否定。
它是一个变元的函子，用Ｎ表示。
要把函项Ｎｐ翻译为英语或任何其它现代语言都是困难的，因为没有与命题否定相当的单个的字眼①。
我们只得用一种绕弯子的方式说“ｐ不是真的”
（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｒｕｅ－ｔｈａｔ
ｐ）或“不是ｐ那种情况”
（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｈｅ－ｃａｓｅ－ｔｈａｔ
ｐ）。
为了简便起见，我采用表达式“非ｐ”
（ｎｏｔ－ｐ）。
①D斯多亚派用一个词‘ι（即“非”
，“不”。
——译者注）
表示命题的否定。
J F L
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２。符号系统的说明A ３１
我的表示法的原则是将函子写在变元之前，用这种办法，我能够不用括弧。
我发明的、并从１９２９年起在我的逻辑论文中使用的这一套不用括弧的符号①，可用于数学，同样也可用于逻辑。
加法的结合律在原来的表示法中是这样写的：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
，而且不能不用括弧来陈述。
然而如果你把函子＋写在它的变元之前，你得到：
（ａ＋ｂ）＋ｃ＝＋＋ａｂｃ以及ａ＋（ｂ＋ｃ）＝＋ａ＋ｂｃ。
结合律现在就可以不用括号而写出了：＋＋ａｂｃ＝＋ａ＋ｂｃ。
现在，我要解释一下有些用这种符号表示法写出的表达式。
一个三段论的符号表达式是易于了解的。
以Ｂａｒｂａｒａ式为例：如果所有ｂ是ｃ并且所有ａ是ｂ，则所有ａ是ｃ。
用符号写成：ＣＫＡｂｃ
Ａａｂ
Ａａｃ前提Ａｂｃ和Ａａｂ的合取式，即ＫＡｂｃ
Ａａｂ，是公式的前件，结论Ａａｃ是它的后件。
有些演绎理论的表达式是很复杂的。
如假言三段论如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）则（如果ｐ，则ｒ）
］的符号表达式写成：
①例如，见卢卡西维茨与塔斯基：“关于命题演算的研究”
，《华沙科学与文学学会会刊》，ｘｉ卷（１９３０年）
，第Ⅲ类，第３１—３２页。
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４１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
Ｃｐｑ
Ｃｑｒ
Ｃｐｒ。
为了了解这个公式的结构，你们必须记住：Ｃ是直接在Ｃ之后的两个命题变元的函子。
这两个命题变元与Ｃ一起构成一个新的复杂命题表达式。
公式中的表达式Ｃｐｑ，Ｃｑｒ与Ｃｐｒ即属于这一类。
在它们每一个的周围画上括弧，就得到表达式：Ｃ（Ｃｐｑ）Ｃ（Ｃｑｒ）
（Ｃｐｒ）。
现在你们能够容易地看到Ｃ（Ｃｐｑ）是整个公式的前件，而其余的，即Ｃ（Ｃｑｒ）（Ｃｐｒ）是后件。
这个后件本身又是以（Ｃｑｒ）为前件和Ｃ（ｐｒ）为后件的。
以同样的方式我们可以分析所有其它表达式，如除了Ｃ之外还包含Ｎ和Ｋ的下面的例子：ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐ。
记住Ｋ与Ｃ一样也是两个变元的函子，而Ｎ是一个变元的函子。
使用不同种类的括弧我们得到表达式：Ｃ［Ｃ（Ｋｐｑ）
ｒ］｛Ｃ［Ｋ（Ｎｒ）ｑ］（Ｎｐ）
｝。
［Ｃ（Ｋｐｑ）
ｒ］在这里是整个公式的前件，而｛Ｃ［Ｋ（Ｎｒ）
ｑ］（Ｎｐ）
｝是后件，这个后件又有合取式［Ｋ（Ｎｒ）ｑ］为自己的前件以及否定式（Ｎｐ）为自己的后件。
２３。演绎理论A所有其它逻辑系统都建立于其上的那个最基本的逻辑系统乃是演绎理论。
因此每一个逻辑学家都应当知道这个系统，我在这里将对它作一简单描述。
根据什么函子被选择作为原始词项，演绎理论可以用几种不同方式加以公理化。
最简单的一种是按照弗莱格的方式。
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２３。演绎理论A ５１
他采用蕴涵与否定这两个函子作为原始词项，这在我们的符号系统中就是Ｃ和Ｎ。
这个Ｃ－Ｎ系统有很多组公理；其中最简单和几乎普遍赞许的一组，是我自己在１９２９年以前所发明的①。
它包含三条公理：Ｔ１。
ＣｐｑＣｑｒＣｐｒＴ２。
ＣＮｐＴ３。
ＣｐＣＮｐｑ。
第一条公理是已经在前面一节中解释过的假言三段论定律。
第二条公理，在文字上读作：“如果（如果非ｐ，则ｐ）
，那么ｐ“
，欧几里德曾用于一条数学定理的证明②。
我把它叫做克拉维乌斯定律，因为克拉维乌斯（一位博学的耶稣会士，生活于十六世纪后半期，西方新历——格列高里历法的创造人之一）
在注释欧几里德时首先注意到这个定律。
第三条公理在文字上就是“如果ｐ，那么如果非ｐ，则ｑ”
，就我所知，它第一次出现在据说是邓斯司各脱的关于亚里士多德的注释中；我W称之为邓斯司各脱定律③。
这条定律遏制着通常加之于矛盾W的诽谤：如果两个矛盾的语句，如α与Ｎα，同真，我们能够用这个定律从它们引出任意的命题ｑ，亦即无论任何命题。
属于这个系统的有两条推论规则：代入规则和分离规则。
代入规则允许我们从这系统里已断定的命题中，用一个
①第一次发表于用波兰文写的“论数理逻辑的重要性与必要性”
《波兰科学》（Ｎａｕｋａ
ｐｏｌｓｋａ）卷Ⅹ，华沙（１９２９年）第６１０—６１２页。
又参见本书第９８页注②所引用德文写的论文：命题６，第３５页。
②见前，第６７页。
③参看第６４页注所引用的我的论文。
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６１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
同样的有意义的表达式替换其中每一个相同的变项，从而导出一个新的断定命题。
有意义的表达式用以下方式归纳地定义为：（ａ）任何命题变项是一个有意义的表达式；（ｂ）如果α是一个有意义的表达式的话，Ｎα也是一个有意义的表达式；（ｃ）
如果α和β都是有意义的表达式，则Ｃαβ也是有意义的表达式。
分离规则就是前面谈到过的斯多亚派的“肯定前件的假言推理”
：如果Ｃαβ这种类型的命题被断定为真，并且它的前件α也被断定为真，那么就可以允许断定它的后件β，而把它从蕴涵式中分离出来作为一个新的断定命题。
用这两条规则我们能从我们这组公理推导出所有ＣＮ系统的真断定命题。
在这个系统中，如果我们要有除Ｃ和Ｎ之外的其它的函子，如像Ｋ，我们必须用定义来引进它们。
这可以用两种不同方式来作到，如我将在Ｋ的例子中表明的那样。
合取式“ｐ并且ｑ”的意思犹如“（如果ｐ，则非ｑ）这不是真的”一样。
Ｋｐｑ与ＮＣｐＮｑ之间的这个联系可以表达于这个公式中：Ｋｐｑ＝ＮＣｐＮｑ，其中记号＝相当于文字“意思犹如……一样”。
这种定义需要一个特殊的推论规则，它允许我们用被定义项替换定义项，并且反之亦然。
或者我们可以用等值来表示Ｋｐｑ与ＮＣｐＮｑ之间的这个联系，但因为等值不是我们系统的原始词项，所以用两个彼此可以替换的蕴涵式来表示这个联系：
ＣＫｐｑＮＣｐＮｑ与ＣＮＣｐＮｑＫｐｑ。
在这个情况下就不需要特殊的定义规则。
我将使用第一种定
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２３。演绎理论A ７１
义。
现在让我们用一个例子来表明借助于推论规则如何能从公理引出新的断定命题。
我将从公理Ｔ１－Ｔ３推导出同一律Ｃｐ。
这一推导要求两次使用代入规则以及两次使用分离规则；它是这样进行的：
Ｔ１。
ｑＣＮｐｑ×ＣＴ３－Ｔ４＇
Ｔ４。
ＣＮｐｑｒＣｐｒ
Ｔ４。
ｑｐ，ｒｐ×ＣＴ２－Ｔ５＇ ＇
Ｔ５Ｃｐ。
第一行叫做“导出行”
（ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎａｌ
ｌｉｎｅ）。
它包含以×号相互隔开的两个部分。
第一部分，Ｔ１。
ｑＣＮｐｑ，意思是在Ｔ１中＇ＣＮｐｑ应当代替ｑ。
由此代替所产生的断定命题为了节省篇幅而省略了。
它将是以下形式：（１）ＣＣｐＣＮｐｑＣＮｐｑｒＣｐｒ第二部分，ＣＴ３－Ｔ４，表明了这个省略了的断定命题是怎样构造的，使得分离规则可以应用于它这一点成为显然。
断定
