投资学(第4版)-第204部分
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1 9 4 5 3 6 。 11 1 0 。 4 0 1 9 8 2 1 0 。 8 7 2 9 。 8 1
1 9 4 6 …8 。 4 2 …0 。 4 5 1 9 8 3 1 3 。 7 1 …8 。 1 2
1 9 4 7 5 。 2 1 …3 。 1 3 1 9 8 4 …3 。 5 8 5 。 5 8
1 9 4 8 4 。 6 9 2 。 5 9 1 9 8 5 2 4 。 4 4 2 3 。 2 5
1 9 4 9 1 7 。 6 9 5 。 3 5 1 9 8 6 1 2 。 3 1 1 8 。 2 8
1 9 5 0 3 0 。 5 1 …1 。 1 4 1 9 8 7 …0 。 2 4 …8 。 1 6
1 9 5 1 2 2 。 5 3 …5 。 4 3 1 9 8 8 1 0 。 4 6 3 。 3 2
1 9 5 2 1 6 。 7 1 …0 。 5 0 1 9 8 9 2 3 。 1 2 9 。 7 4
1 9 5 3 …2 。 8 1 1 。 8 1 1 9 9 0 …1 0 。 9 8 …1 。 6 3
1 9 5 4 5 1 。 7 6 6 。 3 3 1 9 9 1 2 4 。 9 5 1 3 。 7 0
1 9 5 5 2 9 。 9 9 …2 。 8 7 1 9 9 2 4 。 1 6 4 。 5 4
1 9 5 6 4 。 1 0 …8 。 0 5 1 9 9 3 7 。 0 9 1 5 。 3 4
1 9 5 7 …1 3 。 9 2 4 。 3 1
1 9 5 8 4 1 。 8 2 …7 。 6 4 样本均值8 。 5 7 1 。 6 2
1 9 5 9 9 。 0 1 …5 。 2 1 标准差2 0 。 9 0 8 。 5 0
1 9 6 0 …3 。 1 3 11 。 1 2 最小值…4 4 。 4 1 …1 5 。 1 9
1 9 6 1 2 4 。 7 6 …1 。 1 6 最大值5 3 。 6 9 2 9 。 8 1
1 9 6 2 …11 。 4 6 4 。 1 6
资料来源：芝加哥大学证券价格研究中心。
理解这些数据的一种方法是把它们画在图上，一般是作成柱状图或频率分布图。
表A … 3中6 8个观测值被作成了如图A … 4所示的频率分布图。这节我们要根据以下步骤及
原则来得到频率分布图：
。 随机变量取值的值域一般被平均分成几个相对较小的子值域。间隔的多少取决
于可得观测值的数量。表A … 3提供了6 8个数据，因此1 0分法（即1 0个间隔值域）看来
已经足够。
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附录A 定量计算的复习
757
。 在第一个间隔值域中作出一个长方形，长方形的高度表示在该值域内观察值出
现次数的多少。
。 如果观测大多都集中在整个值域中的一小部分，那么该值域就可以被分成不相
等的间隔。在这种情况下，各间隔观测值的频率大小就由间隔中所作长方形的面积来
表示（但这并不是我们这里所要讨论的例子）。
。 如果样本是具有代表性的，那么该频率分布图的形状就可以揭示随机变量真实
的概率分布了。我们所有的6 8个观测值并不是一个大样本，但是频率分布图的大致形
状确实说明了收益率大致服从一个正态或对数正态的分布。
另外一个通过作图把样本信息体现出来的方法是盒式描点法。图A … 5就是盒式描
点的例子，它使用的同样是表A … 3的数据。盒式描点是一种能体现样本分布离散性质
的好方法。一个通常使用的散布性质指标是“内四分值域”。我们可以回忆一下值域
这种最原始的散布指标，它是观测值中最大值与最小值之间的差。由于它很可能会由
两个最极端的观测值所决定，因此这个指标并不可靠。
内四分值域是关于值域概念的一个较令人满意的简单变体，它由样本排序后最低
1 / 4与最高1 / 4两者之间的差来确定。对于最低1 / 4的观测值来说，样本中有2 5％的观测
值小于它；同样，在最高1 / 4的观测值上面，存在2 5％的大于它的观测值。于是内四分
值域就是样本中间5 0％观察值所组成样本的值域。样本散布度越高，这两个值之间的
差距就越大。
a）
b）
图A…4
a） 股权风险溢价的历史数据柱状图b） 债券到期溢价的历史数据柱状图
资料来源：The Wall Street Journal； October 15； 1997。
在盒式描点图中，水平的虚线表示中位数，中间的方盒表示内四分值域，垂直线则
表示从方盒延伸出去的幅度。垂直线所表示的延伸值域一般只限制于内四分值域的1 。 5倍。
这样许多极端的观测值（图中以分离的点表示）就只能被视为远离中心的非常规点。
作为一次概念检验，验证一下表A … 3的原始数据与图A … 5的方盒描点作图，并与下
列数字作比较。
第八部分附录
758
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收益率（％）
股票债券
图A…5 年股权风险溢价与长期债券（到期）风险溢价的盒式描点图
股权风险溢价债券到期溢价
最低的极端点…4 4 。 4 1 …1 5 。 1 9
…3 5 。 3 4 …1 3 。 4 0
…3 4 。 4 7 …1 2 。 8 6
…2 7 。 3 1 …11 。 6 6
…2 1 。 5 9 …11 。 6 0
…1 9 。 6 2 …8 。 3 4
…1 5 。 0 8 …8 。 1 6
…1 4 。 8 2 …8 。 1 2
…1 3 。 9 2 …8 。 0 5
…1 3 。 1 7 …8 。 0 4
…1 2 。 3 0 …7 。 6 4
…6 。 3 8
…5 。 7 9
…5 。 4 7
…5 。 4 3
…5 。 2 1
最低1 / 4的分界点…4 。 7 9 …3 。 3 3
中位数8 。 7 7 1 。 7 7
最高1 / 4的分界点2 2 。 6 8 5 。 6 4
最高的极端点2 9 。 9 9 8 。 8 4
3 0 。 5 1 9 。 7 4
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附录A 定量计算的复习
759
（续）
股权风险溢价债券到期溢价
3 1 。 1 4 9 。 8 6
3 1 。 4 0 1 0 。 4 0
3 3 。 7 4 11 。 1 2
3 4 。 3 7 11 。 6 7
3 6 。 11 1 3 。 7 0
4 0 。 3 7 1 5 。 3 4
4 1 。 8 2 1 5 。 8 8
4 7 。 5 0 1 8 。 2 8
5 1 。 7 6 2 3 。 2 5
5 3 。 6 9 2 9 。 8 1
内四分值域2 7 。 4 7 8 。 9 7
内四分值域的1 。 5倍4 1 。 2 0 1 3 。 4 5
从：…11 。 8 4 …4 。 9 5
到：2 9 。 3 7 8 。 4 9
最后就是第三种作图方法：时间序列描点法，它能够揭示经济变量随时间变化的运
动规律。图A … 6是根据表A … 3作的股票及债券超额收益时间序列点图。尽管我们的眼睛已
经习惯于看到由时间序列生成的随机形状，但考察一般长时期内时间序列的变化趋势却
能给我们提供一个有用的信息。有时通过一些正规的统计分析，这样的检验就会奏效。
a）
b）
图A…6
a） 股权风险溢价（ 1 9 2 6 ~ 1 9 9 3年）b） 债券到期溢价（ 1 9 2 6 ~ 1 9 9 3年）
760 第八部分附录
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A。2。2 样本统计量
假设从1 9 2 6年至1 9 9 3年这6 8年中，股票收益的概率分布一直没有变化。现在我们
希望能从表A … 3这6 8个股票年超额收益的观测值中得到关于概率分布的某些信息。
表中的样本值是否为特定概率分布下的独立观测值，这是一个很关键的中心问题。
如果它们确实是，那么所得的统计分析结果就比较正确。我们的分析都建立在这个假
设之上。在许多情况下，金融市场上的实证研究能证实这个前提假设。
从样本均值来估计期望收益：期望收益的定义告诉我们，样本均值应该可以作为
样本期望值的一个较好的估计。事实上，在期望值的众多定义中，有一个定义就是当
观测值个数趋于无穷时的样本均值。
假定表A … 3中的收益样本为Rt，t= 1，。，T= 6 8，那么年超额收益期望值的估计即为
R =
1 。Rt = 8。57％
T
R上的横杠表示它是期望值的估计。从直觉上来看，样本容量越大，样本均值作
为期望估计值的可靠性也就越大；而随机变量的的标准差越大，均值作为期望估计期
的可靠性也越小。下面我们将更详细地讨论这个性质。
估计高阶矩：以样本均值来估计期望的原理同样也适用于对更高阶矩所进行的估
计。回忆一下，高阶矩的定义就是随机变量对期望偏差若干次方的期望。比如说，方
差（二阶矩）是偏差二次方的期望。于是，样本观测值对样本平均的偏差进行平方后，
平方的平均值S2即为方差的估计。
21 。 1 。 2
s = （ Rt … R ）2 = （ Rt … 0。087 5）= 0。04368（s = 20。90％）
T …1 67
其中R 即为样本均值。偏差平方取平均值时分母采用了T…1＝6 7，这纯粹是一个
技术上的原因。如果我们除以T，那么方差的估计就会偏小，偏小因子为（T…1 ） /T。同
时，对高阶矩来说，样本容量越大，真实标准差越小，估计值的可靠性也就越大。
A。3 多随机变量的统计分析
资产组合的构建需要将许多随机变量进行加总。资产组合的收益率就是各个体资
产收益率的加权平均。因此对于资产组合分析来说，理解和量化各随机变量之间的独
立性是相当重要的步骤。
在本节中，我们首先回到情景分析法，然后再考虑如何从样本中获取信息。
A。3。1 随机变量间关系的一个基本指标：协方差
在表A … 4中，我们把安休瑟…布希公司股票及其期权的收益率情况分析结果作了一
下总结。对于随机变量加一常数或乘以一个常数的情形，我们早已熟悉了。但当我们
把两个随机变量加在一起，结果会怎样呢？假如我们现在把股票收益加在看涨期权收
益之上，我们于是得到了一个新的随机变量，并把它记为r（s＋c）＝r（s）＋r（c），
其中r（s）为股票收益，r（c）为看涨期权收益。
表A…4 安休瑟…布希公司股票及期权收益的概率分布
项目情景1 情景2 情景3
概率0 。 2 0 0 。 5 0 0 。 3 0
收益率（％）
股票2 0 3 0 5 0
看涨期权…1 0 0 …1 0 0 4 0 0
看跌期权5 0 …2 5 …1 0 0
E（r） 2
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附录A 定量计算的复习
761
（续）
项目情景1 情景2 情景3
股票0 。 3 4 0 0 。 111 4 0。012 4
看涨期权0 。 5 0 0 2。291 3 5。250 0
看跌期权…0 。 3 2 5 0。525 0 0。275 6
由定义可知，该合成随机变量的期望值为：
E＇r（s＋c） ＇＝。P r （i）ri（s＋c） （ A … 1 0 ）
把r（s＋c）的定义代入等式A … 1 0，我们有：
E＇r（s＋c） ＇＝。Pr（i） ＇ri（s）＋ri（c） ＇＝。P r （i）ri（s）＋。P r （i）ri（c）
＝E＇r（s） ＇＋E＇r（c） ＇ （ A … 11 ）
也就是说，两个随机变量和的期望值等于两个随机变量期望值的和。对于方差，
这句话还适用吗？回答是“不”，这也是资产组合理论中最重要的事实。其原因就归
根于随机变量之间具体的联合性质的基本指标。尽管下面的表述看上去很深奥，但它
们最多不过是平方和而已，也就是（a＋b）2＝a2＋b2＋2a b和（a…b）2＝a2＋b2…2a b这两个最
基本的公式。其中的a、b可能表示随机变量，也可以是它们的期望，或者它们对其期
望的偏差。由方差的定义，我们有：
s＋c2= E＇rs＋c … E（rs＋c ）＇2 （A … 1 2）
为了使式（A … 1 2）到式（A … 2 0）变得易于理解，我们以s、c脚标来表示随机变量，
然后以i来表示各种情景。在式（A … 1 2）中替换r（S＋C）及其期望的定义式，有：
s＋c2= E＇rs ＋ rc … E（rs ） … E（rc ）＇2
（A … 1 3）
在式（A … 1 3）中交换各变量的顺序，有：
2
= E＇r… E（r） ＋ r… E（r）＇2
s＋c ssc c
在平方的括弧里面，其实就是两个随机变量对其期望偏差的和，我们以d记之，即：
s＋c2= E＇（ ds ＋ dc ）2＇ （A … 1 4）
式（A … 1 4）是一个完全平方和的期望。把平方展开，我们有：
s＋c2= E（ds2＋ dc2＋ 2dsdc ） （A … 1 5）
式（A … 1 5 ）括号由三个随机变量的和组成。由于和的期望就是期望的和，我们可
以把式（ A … 1 5 ）写
