投资学(第4版)-第47部分
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资料来源：The Wall Street Journal； June 17； 1997。
资产组合的标准差能有多低呢？相关系数的最低值为…1，表示完全负相关，此时，
式（ 8 … 5 ）可简化为
2
E）2
＝（wD
D …wE
p
176 第二部分资产组合理论
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资产组合的标准差为
P ＝wD
D …wE
E
｜
｜
当
＝…1时，一个完全套期头寸可以通过选择资产组合解以下方程得出
E ＝0
wD
D …wE
公式的解为：wD = ED＋
wE = DD＋E
= 1 … wD
E
这些权重将使资产组合的标准差趋向零。＇ 1 ＇
表8…3 不同相关系数下的期望收益与标准差
给定相关性下的资产组合的标准差
wD wE E（rp） ＝…1 ＝0 ＝0 。 3 0 ＝1
0 。 0 0 1 。 0 0 1 3 。 0 0 2 0 。 0 0 2 0 。 0 0 2 0 。 0 0 2 0 。 0 0
0 。 1 0 0 。 9 0 1 2 。 5 0 1 6 。 8 0 1 8 。 0 4 1 8 。 4 0 1 9 。 2 0
0 。 2 0 0 。 8 0 1 2 。 0 0 1 3 。 6 0 1 6 。 1 8 1 6 。 8 8 1 8 。 4 0
0 。 3 0 0 。 7 0 11 。 5 0 1 0 。 4 0 1 4 。 4 6 1 5 。 4 7 1 7 。 6 0
0 。 4 0 0 。 6 0 11 。 0 0 7 。 2 0 1 2 。 9 2 1 4 。 2 0 1 6 。 8 0
0 。 5 0 0 。 5 0 1 0 。 5 0 4 。 0 0 11 。 6 6 1 3 。 11 1 6 。 0 0
0 。 6 0 0 。 4 0 1 0 。 0 0 0 。 8 0 1 0 。 7 6 1 2 。 2 6 1 5 。 2 0
0 。 7 0 0 。 3 0 9 。 5 0 2 。 4 0 1 0 。 3 2 11 。 7 0 1 4 。 4 0
0 。 8 0 0 。 2 0 9 。 0 0 5 。 6 0 1 0 。 4 0 11 。 4 5 1 3 。 6 0
0 。 9 0 0 。 1 0 8 。 5 0 8 。 8 0 1 0 。 9 8 11 。 5 6 1 2 。 8 0
1 。 0 0 0 。 0 0 8 。 0 0 1 2 。 0 0 1 2 。 0 0 1 2 。 0 0 1 2 。 0 0
最小方差的资产组合
wD 0。625 0 0。735 3 0。820 0 —
wE 0。375 0 0。264 7 0。180 0 —
E（rp） 9。875 0 9。323 5 8。900 0 —
p 0。000 0 10。289 9 11。447 3 —
让我们把这一分析运用到表8 … 1中的债券与股票中，使用这些数据，根据资产组
合的期望收益、方差与标准方差公式为：
E（rp）＝8wD＋1 3wE
p2＝1 22wD
2＋2 02wE
2＋2×1 2×2 0×0 。 3×wDwE
＝1 4 4wD2＋4 0 0wE
2＋1 4 4wDwE
2
＝
p
p
我们可以测算一下各种资产组合权重对期望收益和方差的影响。假设我们改变债
券的投资比例，这种改变对收益的影响在表8 … 3中列出，并显示在图8 … 3中，当债券的
投资比例从0到1（即股权投资从1到0）时，资产组合的期望收益率从1 3％（股票的期
望收益率）下降到8％（债券的期望收益率）。
如果wD＞1，wE＜0时，会发生什么情况呢？此时的资产组合策略是作一股权基金
空头，并把得到的资金投入到债券基金。这将降低资产组合的期望收益率。例如，当
wD ＝2和wE ＝…1时，资产组合的期望收益率下降为2×8＋（…1 ）×1 3＝3％，此时资产组合
中债券的价值是账面价值的两倍。这个极端的头寸是通过作全部股票的空头来实现的。
＇1＇ 当资产完全正相关时，资产组合的方差是可能为零的，但要求卖空。
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第8章最优风险资产组合
177
当wD＜0和wE＞1时，情况相反，投资策略应是作一债券基金的空头，把所得投入
股票基金。
当然，改变投资比例还会影响资产组合的标准差。表8 … 3给出了根据8 … 5式和资产
组合的相关系数分别假定为0 。 3及其他
值计算出的不同权重下的标准差。图8 … 4显示了
标准差与资产组合权重的关系。首先看一下
D E ＝0 。 3时的实线，此图显示，当股权投
资的比例从0增加到1时，资产组合的标准差首先因分散投资而下降，但随后上升，因
为资产组合中股权先是增加，然后全部投资都集中于股权，从集中到分散，再到集中。
只要基金之间的相关系数不是太高，这一类型总是有效率的。对于一对收益的正相关
系数很高的资产，资产组合的标准差将单调上升，从低风险资产变化为高风险资产。
即便在这种情况下，如果正相关值很小，分散化还是会有一个积极的效果。
E＇r（资产组合）＇
股权基金
债券基金
w（股票）
w（债券）＝1…w（股票）
图8…3 资产组合期望收益率是投资比率的函数
哪种资产组合的标准差的最小水平是可接受的？根据表8 … 1规定的参数值，通过
解以下最小值问题可以得出资产组合的权重：＇ 1 ＇
wM i n（D）＝0 。 8 2
wM i n（E）＝1…0 。 8 2＝0 。 1 8
根据表8 … 3中
＝0 。 3列的数据，这个最小化方差的资产组合的标准差为
M i n ＝＇ （ 0 。 8 22×1 22）＋（ 0 。 1 82×2 02）＋（ 2×0 。 8 2×0 。 1 8×7 2 ） ＇1 / 2＝11 。 4 5％
图8 … 4中的实线表示当
＝0 。 3时，标准差是投资比例的函数，这条线经过wD ＝1和
wE ＝1两个非分散化的资产组合。我们发现最小方差资产组合（m i n i m u m … v a r i a n c e
p o r t f o l i o）有一个小于资产组合中各个单独资产的标准差，这显示了分散化的影响。
图8 … 4中其他三条线表明在其他相关系数下，资产组合中各组成资产的方差不变，
资产组合的风险是如何变化的。这些曲线画出了表8 … 3中其他三列中的数值。
＇1＇ 解题中运用了微积分求最小值的技巧。先根据式（ 8 … 2 ）写出资产组合的方差；用（1…wD）来替代wE，求
2
出公式对于wD系数，令其等于0，得w Min（ D） =
D
2 ＋
E …
2
E
Cov（ rD ； rE ）
。另一种方法是使用计算机电子表
… 2Cov（ rD ； rE ）
格求得准确解。
178 第二部分资产组合理论
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资产组合标准差（％）
股票基金权重
图8…4 资产组合标准差是投资比例的函数
黑色实线连接非分散化下的全部是债券或全部是股票的资产组合，即wD ＝1或wE
＝1，表示资产组合中的资产完全正相关，
＝1。在这种情况下，分散化没有好处，
资产组合的标准差只是组合中各资产标准差的简单加权平均值。
绿色的抛物线描绘出非相关资产，即
＝0时的资产组合的风险。相关系数越低，
分散化就越有效，资产组合风险就越低（至少在两种资产的持有量为正时），最小的
标准差是当
＝0时，为1 0 。 2 9％（见表8 … 3）；低于组合中各个资产的标准差。
最后，三角形的折线显示了完全对冲的情况，当两种资产为完全负相关，即
＝
1时，资产组合的最小方差为：
E
wMin（ D；
=…1） =
＋
D
E
20 （ 8 … 6 ）
0。625
12 ＋ 20
wMin（E；
=…1） = 1 … 0。625 = 0。375
资产组合的方差（与标准差）为零。
我们可以把图8 … 3和8 … 4组合在一起，以揭示在有关资产的参数给定的情况下，资
产组合风险（标准差）与期望收益率的关系，结果见图8 … 5。对于任一对投资比率为
wD、wE的资产，我们可以从图8 … 3中得到它们的期望收益，从图8 … 4中得到它们的标准
差。期望收益与标准差在表8 … 3中列出，并在图8 … 5中给出了它们的几何图形。
图8 … 5绿色曲线是相关系数
＝0 。 3时的资产组合机会集合（portfolio opportunity
s e t）。我们把它称为资产组合的机会集合是因为它显示了由两种有关资产构造的所有
资产组合的期望收益与标准差。其他线段显示的是在其他相关系数值下资产组合的机
会集合。黑色实线连接两种基金，表示当两种资产的相关系数为1时，分散化没有什
么益处。绿色抛物线表示，当相关系数小于0 。 3时，可以从分散化中获得更多的利益。
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第8章最优风险资产组合
179
标准差（％）
期望收益率（％）
图8…5 资产组合的期望收益是标准差的函数
最后，当
＝…1时，资产组合的机会集合是线性的，但它提供了一个完全对冲的
机会，此时从分散化中可以获得最大的利益。
总之，尽管期望收益是资产组合各个组成资产收益的简单加权平均值，但是标准
差却并非如此。当相关系数小于1时，分散化的潜在收益将增加。资产组合中的资产
相关性越低，分散化的潜在收益就越大。在极端的完全负相关的情况下，我们可以有
一个完全对冲掉风险的机会，并能构造一个零方差的资产组合。
假设现在一个投资者希望从机会集合中选择一个最优的资产组合，最优的资产组
合与风险的厌恶有关。位于图8 … 5中东北方向的资产组合收益高，但风险也高。最好的
取舍取决于个人的偏好。比较厌恶风险的投资者将愿意选择西南方向的资产组合，这
一资产组合的风险较低，期望收益亦较低。＇ 1 ＇
概念检验
问题2：计算并画出债券与股票基金资产组合的机会集合：两种资产的相关系数
为
＝0 。 2 5。
＇1＇ 给定一个风险厌恶程度，人们可以决定一个资产组合的最高效用水平。根据第7章中的知识，我们可
以描述一个期望收益E（rp）与方差p2的函数的资产组合所提供的效用。因为U＝E（rp）…0 。 0 0 5A
p2。资产
组合的期望值与方差，由资产组合中的两种基金的权重wE、wD决定。利用8 … 1式和8 … 2式，我们可以找
到两种基金的最优投资比例：
2 …
E（rD ） … E（rE ） ＋ 0。01A（
）
DE
DE
w = D
D 22
0。01A（
＋
… 2 D
D
E
E
DE ）
w= 1 … w
ED
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180 第二部分资产组合理论
8。3 资产在股票、债券与国库券之间的配置
在上一章中，我们考虑了最简单的资产配置决策，从无风险的货币市场证券资产
组合到有风险的证券资产组合。下面我们将进一步分析，着重分析包含股票与债券基
金的风险资产组合。我们仍要说明投资者是如何在股票与债券市场进行资金配置及构
造风险资产组合的。这也是一种资产配置决策。正如专栏8 … 2所述，大部分投资专家认
识到“真正重要的决策是如何在股票、债券和安全性最好的国库券中分配你的资金”。
在上一节，我们推导了资产组合中两种风险资产的比例，在此基础上，我们引入
第三种选择—无风险的资产组合。这可以使我们处理好资金在三种关键资产：股票、
债券与无风险货币市场证券之间的配置，一旦投资者掌握了这个原则，他将可以很容
易地构造由多种风险资产组成的资产组合。
投资顾问会这样建议：如果你想取得更大的投资成功，不要从搜索那些
热门股票和共同基金开始，最重要的决策是如何把你的资金分配在股票、债券
与安全的国库券上。
用华尔街的术语来表述这种投资资产组合就是你的资产配置。“资产配置
是第一个，也是最重要的决策。”乔治城大学（Georgetown University）财务
教授威廉·德罗姆斯（William Droms）说，“你在股市中投入多少将直接影响
最后的投资结果。”
一家洛杉机投资咨询和金融设计公司的执行董事威廉·约翰·米库斯
（William John Mikus）�
