经济数学模型化过程分析-第18部分
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嗟庇谒睦投υ龀ぢ蔮不变，那么v亦不变。若m亦不变，则剩余价值
m=mv
也就不变，这时被积累的m=ac＋av＋k，当用于不变资本的积累的比率a也是不变的，则
act =act
于是不变资本的增长取决
ct =（1＋a）ct…1
积累用作可变资本的比率应是人口增长的比率b，故
avt =bvt
于是
vt=（1＋b）vt…1
剩余价值的增长是
mt=mvt=m（1＋b）vt…1
劳动价值理论中新价值的增殖依靠活劳动的支出，这与现代的〃国民收入〃的概念相近。国民收入是可变资本加上剩余价值。故
yt=vt＋mt
=（1＋b）vt…1＋m（1＋b）vt…1
=（1＋m）（1＋b）vt…1
=（1＋b）yt…1
显然，马克思可以得出一切财富是劳动创造的，当然这时没考虑技术进步。稍加整理，我们有
ct = （1＋a）t…1 c1
vt = （1＋b）t…1 v1
mt = （1＋b）t…1 m1 =m （1＋b）t…1 v1
yt = （1＋b）t…1 y1 = （1＋m）（1＋b）t…1 v1
类似地，
act = a （1＋a）t…1 c1
avt = b（1＋b）t…1 v1
初始状态
y1 =m1 ＋v1
在完全市场经济条件下，资本的积累依赖于投资家？quot；任意〃决定，而为了与人口增长保持均衡，资本的积累必须有某种相应的动作。但是只有在政府部门宏观指导下，才能使生产能力的增长和消费品的增加与人口增长保持着同步。如果m不变；q1；q2上升，则a亦上升，因此马克思认为a》b是可能的。它们之间的联系是什么呢？我们注意到国民收入的增长率
这说明国民收入将与人口增长同步，积累率
则表明a》b使经济系统不稳定。依据劳动价值理论（a》b），计入不变资本的毛收入gG？a （t？￥）。而且在发展过程中，利润率由于有机构成的提高而有所下降
？0 （t？￥）
可以看出马克思正是透过这种图式，预见到资本主义初期发展的不稳定性。从上述模型还可以看出资本家会自动扼制资本有机构成的提高，以维持较高的利润率。
如果将前述假设改成a=b，则资本主义经济系统中用于积累的剩余价值不会被耗尽，而且资本有机构成和利润率将保持不变。我们考虑均衡增长的情况下，马克思的扩大再生产模式是如何得到哈罗德模型的。哈罗德的均衡等式为
Dy/y=s
式中y是国民收入，s是平均（边际）消费倾向，
S=sy
s =Dy/DG
s是资本一产出率，S是储蓄，G是资本存量其保证的增长率
gw=ss
在均衡下，哈罗德要求实际增长率gA等于保证的增长率gw，而两者都必将等于人口增长率b，即
gA=gw=b=ssw
其中ssw是保证的资本产出率。于是
yt=（1＋m）v1 （1＋b）t…1
如果依据马克思的理论：资本家储蓄剩余价值m中没有用于消费的部分，整个经济中消费掉的有v，av和k，因而
St=yt…（vt＋avt＋kt）
=（vt＋mt）…（vt＋avt＋kt）
=act
即整个经济能够储蓄的数额S，恰好等于资本家愿意追加的不变资本的数额ac。这就是凯恩斯理论中的投资I=S的前身！因此
GA=Gw=ss=b
这说明马克思的模式能满足哈罗德的平均增长条件。请留意，马克思的模式中s？￥；（t？￥）且s？0 （t？￥）；而哈罗德的模式中，s和s是不变的。当a=b时，s与s不变，故马克思的理论说明资本主义经济中，随着资本密集化资本一产出率持续下降，经济的持续增长要求储蓄倾向抵消资本一产出率的下跌。但资本家的消费将在一定的时期后被耗尽。
kt=mt…（act＋avt）
=v1（1＋b）t…1 （m…b）－ac1 （1＋a）t…1
这个就会使资本家尽力压低劳动力的追加工资，从而相对贫困在所难免。综上所述，马克思的扩大再生产图式是宏观增长理论的前身，而且远比哈罗德模型深刻。
如果将两部类联合起来来考虑，有以下三个假设：
（1）两大部类的积累率相同
a1 /m1 = a2 /m2 = a/m
（2）部类间的均衡条件
（1＋m）vI =cI ＋ac
（3）部类间的不变资本积累和可变资本积累相同
问题是1）由于转移到第I部类的剩余价值资金，在其生成的部类尚未分成不变资本和可变资本，所以acII和avII就不能这样被转移。2）要求资本依其所生成的部类的有机构成来转移，而不是按照受它的那个部类的有机构成来转移，这也不太合理。但上述三个假设决定了两部类内的转移机制，正是以此为依据，部类I增长必须快于部类II的增长。这时，
显然；cI； vI不断增长； cII； vII趋于零。结果同说明了这个体系是不稳定的。原因仍是a》b。所以只有a=b，才能使资本主义体制稳定。
§8。4 效用函数与生产函数
在这一节里，我们要学习经济学家是如何利用数学模型描述他们心目中的市场经济的。人们已经注意到经济学语言转化成形式化数学语言的困难在于经济学术语的多层次性。例如市场一词在经济学中有六个层次的含意：1）考虑一种商品时，市场是该商品的买方和卖方相互交易、进行交换的地方；2）一组特殊的买方，如初级市场；3）一种已知商品的买方和卖方，如小麦市场；4）商业区，如北京王府井；5）在马歇尔经济学中，市场是理想的、在任何给定时刻的价格对一切买卖双方是同样的地方；6）口语中，市场有市场价值的意思。鉴于这种情况，我们不标明经济学的观点是否正确，立论是否严谨，而重点放在怎样利用数学语言。
在我们这个世界上，人类在不停地忙碌着。他们不断地给予和索取，为什么要取舍这些东西呢？一切经济单位也是这样，什么动机促成了它们的行为是这样而不是那样呢？偏好是其根源。人们在享受物品或劳务中所得到的满足叫作效用。偏好决定了人们为什么做甲事而不做乙事。即甲f乙。〃f〃在数学里称为序。效用可以是不道德的，甚至是负效用。如果享用第i个单位的某物品或劳务的效用记作mui，则有
mu1 》 mu2 》…》
这就是边际效用递减规律。假如市场上有n种商品，某代理人的效用值用函数表达成
u=u（x1；x2；…xn）
则应有
若代理人的收入为I，市场价格p=（p1，p2，…，pn）T；则他一定追求效用最大。行为由模型
maxu（x1；x2；…xn）
s。t。 pTx ￡ I
表示。方程pTx = I称为选择预算线。如果代理人的钱财不是数不胜数，不等式约束等价于等式约束。假设上述模型的最优解为
则得到n个需求函数
xi = xi （p1，…，pn；I）
如果固定pj； j1i； 1￡ j￡ n和I，就得到商品i的需求曲线
xi = xi （pi）
特定的 下， 称为价格水平，若新的价格为p*，且
p*T 》 pTx
则称发生了通货膨胀。价格指数 和通货膨胀率P分别为
这时，代理人的真实收入Ir变化了
Ir = I*/
其中I*是新收入。这时代理人的行为会发生变化，依据是
max u（x1；x2；…xn）
s。t。 p*Tx ￡ I*
的最优解x*变了。显然，如果价格和收入同步增长，则x*= 。假设相对价格或价格比率为
价格p变化到p*且收入不变。则经济学家认为需求变化是两种效应共同作用的结果，它们是
1）收入效应：由价格变化引起某商品i的供给者的真实收入下降，从而使需求发生的变化的效应；
2）替代效应：由于相对价格Pij的变化，引起需求变化的效应。
Max u（x1；x2；…xn）
s。t。 p*x ￡ I
x 3 0
的最优解为 ，则 的变化表示替代效应。若
max u（x1；x2；…xn）
s。t。 p*Tx ￡ p*T ，x 3 0
的最优解为 ，则 的变化表示收入效应。但是经济学家们的观点也不一致。希克斯（Hicks；1946）则主张保持实际收入不变指的是新的预算超平面的法向量仍取p*，但与以前一样的无差异曲面
u（x1；x2；…xn）=
相切。即模型
？u（x）=p*
u（x）=u（ ）
p*x=u（ ）
的解为 ，则 表示替代效应。 表示收入效应。无论 如何变化到 ，价格起了核心作用。我们把 的差异留给读者思考。
价格是市场上最积极的因素，它是如何确定的呢？按规范的经济学观点，市场经济中需求和供给确定相对价格；相对于物品流动的货币量决定绝对价格。我们姑且承认这些理论，从而面临的任务是找出供给函数。
企业是经济中的供给单位，由于资本、劳力、技术、管理等因素的差异，企业的生产能力有所不同。假设某企业的生产函数为
y=f（x1；x2；…xn）
其中y是产出，x=（x1，…，xn）是投入。生产函数一般是相对稳定的，数学性质多为一阶正齐次函数。假如投入的价格分别为p1，…，pn，则成本函数为
c（x）= pTx
在市场经济的条件下，企业追逐最大利润，在客观上要求企业内部对投入进行最佳组合，即在费用一定的情况下尽可能多生产出产品来。模型
max ｜（x）
s。t。 pTx ￡ c
x 3 0
说明了企业的行为，其中pTx￡c是成本预算约束，一般可改为等式。从优化模型中解出的
x=x（p1；p2…；pn；c）
称为对投入的需求分配，将其代入生产函数后，得到
y=f＇x（p1；p2；…pn；c）＇
解其关于c的反函数，即生产成本函数，
c=c（p1；p2…；pn；y）
再固定投入价格p，就得到生产成本曲线
c=c（y）
在生产成本中，随着产出量的变动而变动的部分叫做变动成本，不随着产出量的变动而变动的部分叫固定成本。它们分别是（或等于）c（0）和c（y）…c（0）。设产出的价格为p0，则利润为
P=p0y－c（y）
将P极大化解出最佳产出量 ，这时边际收益MR等于边际成本MC，即
解出
或反解成
y=y（p0）
这正是企业的供给曲线。换言之，边际成本曲线就是供给曲线。产出y也是市场上的商品，那么我们对某种商品得出其需求曲线D=D（p0）和供给曲线S=S（p0）后，就可以由模型
确定该商品的均衡价格p0*和均衡量Q*=D*=S*。关于竞争的市场经济中，需求方程和供给方程最重要的一点不是它们能确定相对价格和产出量，而是价格和产出被确定的方式。
企业对某种投入的需求也可以从模型中得到解释，生产函数y=f（x1；x2；…xn）的偏导数 的经济含意是该投入的边际产出率，那么如果
》pi
则表示增加投入Dxi带来的收益p0Dy大于费用的增加piDxi，于是企业增加投入xi。因为边际产出率递减，所以当
=pi
时，企业停止投入xi。
如果某市场上出现垄断，这时产出仍由边际收益和边际成本的交点确定，但是价格由产出代入需求函数而定。即由
解出y*，再由
y*=y（p0）
解出p0*。
最后，对整个市场经济体系而言，若其产出为x1，…，xn，由一切产出的可能组合应构成一个生产可能性集合R，全社会的福利由效用函数U（x1，…，xn）表示，则一般来说，R是凸集，且U（x1，…，xn）是凹函数。R的外点构成的曲面叫作生产转换曲面。在最优解点上，生产转换曲面的梯度应和全社会无差异曲面的梯度一致。而梯度的分量恰好是相对价格的负值。我们把这些模型留给读者思考。 附录1
（16。1）
将（4）代入（3）
将上式代入（16。1）
（16。2）
由于i￠=q，则由（1）
（16。3）
由（16。2）及（16。3）得
附录2
我们首先介绍赫斯定理，它是研究一维系统的运动稳定性的基础。在此之前，我们引进两个引理＇6＇：
引理1 考虑方程
w=cew （1）
位于w的上半平�
