认识与谬误-第41部分
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第三节
探究这个命题的终极来源，我们发现它是一个经验事实，按照这个经验事实，我们能够测量的任何平面三角形的角之和未显示偏离两直角。在较长的推导中，新奇的外表甚至更强烈地出现了。以欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明为例。在 ab上的正方形是acf的面积的两倍，而acf与三角形aeb全等；但是，两倍的那个三角形等于从b到ac的垂线形成的矩形agde。同样地处理在图8中没有表示出来的右边的部分，便完成该定理。在这里，我们利用了简单的全等定理（借助边和角决定三角形的大小和形状）和图形等面积定理。边的平方之间的奇异的和未曾料到的关系这一结果将使任何初学者感到惊讶不已，但是新奇性再次仅仅依赖于作图，而不依赖于推导的形式。请回忆一下，除了作图以外，所使用的定理建立在不改变大小和形状的情况下可以替代的图形的事实之上，这就是我们在毕达哥拉斯定理中看到的一切。
初学者也许从斜角的图形中获悉有关乎行四边形的命题，并把它应用到矩形，他可能从未在与那个命题的关联中想到矩形。如果他为该结果感到惊奇，那么他便不能在不涉及邻边的角的情况下以充分抽象的方式考虑对边的平行。请关注抽象并把注意力集中于本质而忽略要求实践的枝节问题吧，正如每一个学生将要经历的，不如此注意就会时而以这种方式、时而以那种方式离开原来的进程。例如，在进行演绎时，反复思考会引起注意和矫正这些离题，从而改善抽象。一些具有实践的人比如将看到，正方形的对角线相互平分对于所有平行四边形是共同的，相等的对角钱对于所有矩形是共同的，以直角相交对于菱形和某些其他四边形是共同的。
从较一般的命题（在它们的特殊化的形式中罕见地明确设想过）开始、推进到较特殊的命题的三段论演绎，借助改变和组合各种观点，通过一些中间环节，在这里能够使我们误以为看到未包含在前提中的新洞察。然而，相同的命题能够直接被看见，即使通过建立分离的要素更容易把握它们。演绎的恰当价值正是在这里，而不在于创造新知识。
第四节
如果把成功的案例用语言固定在定义和命题中，以便存储在记忆里的话，那么抽象的弱点便可大大地得到补救。这解脱了思维并使它免去疲劳，因为它将不必每次面临相同的努力。尽管必须从其他地方获得三段论藉以操作的基本知识，但是逻辑操作并非没有用处。它使我们清楚地意识到各种洞察相互依赖的方式，把我们从不得不寻求已经包含在其他一些命题中的特殊基础中拯救出来。即使我们在逻辑上由以开始的命题不是绝对可靠的，它们依然在逻辑上还是合用的。假定我们有未被确立的大前提B是A，那么它还会是这样的格：若B是A且C是B，则C是A。当我们把当代科学甚至数学的所有命题应用于不管是自然的还是人工的实在对象时，我们实际上应该正是在这一涵义上看待它们的，图为它们从来也不是完全对应于抽象的理想的。
第五节
现在，让我们考察一下三段论的配对物归纳，设C1，C2，C3……是其概念为B（图7）的类中的成员。我们观察到，每一个都落在A的概念之下。若C1，C2，C3……穷竭了B的外延且一切都归入A之下，则B作为一个整体也同样进行，归纳被称之为完备的。若我们不能证明所有C的成员落在A之下且我们在没有穷竭B的外延的情况下还推断B是A，则归纳是不完备的。在这个案例中，推论在逻辑上得不到辨护。不过，由于联想和习惯的功能，我们能够发现我们自己在心理上处在这样的状态中：期望所有C、从而还有B将原来是A。为理智的优势和实践的成功起见，我们能够想望它是如此，并尝试性地假定它是如此，不管在期望可能的或有希望的成功时我们借助本能还是借助审慎的方法论规定的方式。
第六节
完备的归纳与三段论一样不提供经验的拓广。通过把个别判断集中到类判断中，我们只不过使我们的知识更简明、只不过更扼要地表达了它。另一方面，不完备的归纳先于知识的拓广，但是由此包含错误的危险，从一开始就注定要受到检验、矫正甚或拒斥。我们比较容易得到的一般判断，绝大多数都是通过不完备的归纳获得的，通过完备的归纳获得的极少。用这种方式形成一般判断不是片刻的事情，也不是仅仅发生在单独的个人身上。所有当代人，所有阶层，事实上整整几代人，都协同起来强固或矫正这样的归纳。经验在空间和时间中传播得越广泛，对归纳的控制也就变得越敏锐、越综合。我们可以回忆一下世界史中的重大事件：十字军东侵、航海大发现、加强的国际交流、投术的发展以及这导致观点和见解变化的方式。抵制矫正时间最长的归纳是延伸到主观领域里的错误的归纳，在此处检验是困难的或不可能的。我们可能记得彗星作为灾祸预兆的观点、占星术、相信女巫、唯灵论以及其他形式的正式的和私人的信仰和迷信。除了用经验直接检验归纳外，还有并非不怎么重要的各种间接的检验：归纳满足归纳，它们或即时地或非即时地通过导出的结论证明自己相容还是不相容。例如，在非决定论的涵义上，自由意志如何适合于统计学的结果呢？包含在保险公司死亡数表中的归纳与包含在“凡人皆有死”的命题中的归纳，在价值上是多么截然不同啊。
第七节
三段论的大前提可以形形色色的方式得到，恰如归纳所依据的个别判断一样。这些前提本身可以是归纳的结果，或者是直接的发现，或者甚至是演绎的结果。在希腊的几何学家可能由以开始的命题，将无疑是直接归纳的结果。因此，情况似乎是，“直线是两点之间最短的距离”之命题，是直接从观察拉紧的绳子中获得的。对于阿基米德来说，它依然是基本的原理。然而，我们同样可以从这样的命题开始：它难以用经验精密地检验，但是它的结果处处与经验一致。牛顿力学正是从这样的命题开始的，实际上应该称其为假没。
第八节
在推导的数学命题中，例如在几何学中，完备的归纳常常起着中介的作用。在欧几里得的与圆心角和周缘角有关的定理的证明中，三个案例凸现出来，推导在其中是不同地进行的。只是在证明命题在所有三个案例中成立后，他才一般地宣布它。此外，在这里有心照不宣的归纳，或者至少有未明确提及的归纳。比如，如果我们特地考虑案例之一，那么我们观察到，周缘角的顶点能够在某些限度内移动而不改变所应用的推理模式。最后，我们可以认为中心角是连续地贯穿所有值而不必改变我们的进路。简而言之，我们正在使用完备的归纳作为证明的工具。与其他的推导类似的是，人们总是必须对可能的案例、被经验和实验促进的过程获取完备的概览。当一般地认为来自特例的推导是可靠的时，在这方面的缺陷间或导致严重的数学错误。在把数学应用于物理学、化学或其他科学的地方，自动地包含着这种心照不宣的归纳，因为在数学中，由于它的对象的均一性和连续性，相对容易达到所有可能案例的完备概览；而且，我们在这里涉及的是我们自己熟悉的、常常在实践中检验的有序活动。
第九节
为了启发的目的，甚至在数学中也往往使用不完备的归纳。沃利斯（Wallis）利用它推导按照某一规律形成的级数的一般项与和。这些研究可以看作是卡瓦列里（Cavalieri）关于求面积和求体积的思想的算术化，也就是积分运算的开端。雅科布·伯努利接着发现了把这样的不完备的归纳转变为完备的归纳的漂亮方法。他首先借助十分简单的例子说明它。设我们必须形成包含零在内的直到n的自然整数之和，简单的归纳产生1/2n（n＋1）。为了表明这一般地对任何n均为真，我们添加一个额外的整数，并发现
1/2 n（n＋1）＋（n＋1）＝1/2（n＋1）（n＋2）
因此，相同的求和公式依然是可靠的，因为这个过程能够无限地反复，所以该公式一般地是可靠的。
第十节
这个例子是如此简单、直观和明白，以致它几乎不需要特别证明。接着，伯努利提及，这一程序能够用来估计平方和、三角形数等等。关于前者，例如我们通过归纳得到
这借助伯努利程序原来对 n＋1也成立，因此对任何n成立。该程序的更一般的图式是这样的：若f（n）是级数的一般项，F（n）是通过归纳得到的和，则F（n）＋f（n＋1）＝F（n＋1），求和公式一般是可靠的。
第十一节
雅可布·伯努利的方法对于探究自然来说也是重要的，因为它告诉我们，在B概念的成员C1，C2，C3……上通过不完备的归纳发现的性质A，能够把它归于B，只要辨认出它与B约束在一起，因而独立于B的成员的变化。
第十二节
因此，三段论和归纳都不能创造新知识，而只不过保证在我们的各种洞察之间没有矛盾，清楚地表明这些洞察如何关联在一起，并把我们的注意力引向某个特定洞察的不同方面，从而教给我们在不同的形式中辨认它。于是，显而易见，探究者获取知识的真正源泉必然处在其他地方。有鉴于此，下述情况是相当不可思议的：涉及探究方法的大多数探究者仍然认为归纳是主要的探究方法，仿佛自然科学无所事事，只不过是直接分类敞开摆在周围的个别事实而已。并非我们希望否认也是重要的东西，而是它并未穷竭探究者的任务：他尤其必须发现相关的特征及其关联，这比分类已经知道的东西更为艰难。对自然科学来说，“归纳科学”的名称因此是没有正当根据的。
第十三节
只是从早已过时的传统和还在坚持的习俗来看，该名称才是可以理解的。考察一下培根的关于假定的赞成或不赞成的例子的一览表，或者穆勒的一致和差异的纲要，我们看到，比较能够使我们意识到迄今未注意的概念，即使它并非显著得足以吸引即时的注意力。
