科学史(下)-第53部分
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类，3 是代表所有成参的一类等等。正如罗秦的定义所说：“某一类的项，
就是与该类相似的所有各类的类。”这已证明与算术的公式相符，而可以适
用于0，适用于1，以至于无穷大的数——这些数都是其他学说所感觉困难
的。至于类之是否虚设而不存在，那是没有关系的。如果用任何其他有类的
定义性质的东西去代替类，则上述的定义也同样可用。由此可知，虽然数已
变成非真实的，但它们依然是有相等效用的逻辑形式。
有些哲学家对可感觉的世界的实在性表示怀疑，其根据之一就是，无穷
大与连续性据说是自相矛盾的，因而是不可能的。固然没有可靠的经验证据，
去证明物理世界中的无穷大及连续性，但是在数学推理上，它们却是必需的，
而哲学家所谓的矛盾，现在已知其为虚幻的了。
连续性的问题，本质上就等于无穷大的问题，因为一个连续级数，必含
有无穷多的项。毕达哥拉斯遇到了一个疑难：他发现直角三角形的弦的平方，
等于其二边的平方之和，如果三角形的两边相等，则弦的平方，即等于边的
平方的二倍。但毕达哥拉斯学派不久又证明一个整数的平方，不能为另一个
整数平方的二倍，如是则边的长度与弦的长度，是不能以整数相约的。毕达
哥拉斯学派本来相信效是世界的本质，据说得此发现以后，大感沮丧而把它
隐藏起来。几何学是在欧几里得采用的基础上重新建立起来的，不涉及算术，
所以避免了这一疑难。
笛卡尔几何学，恢复了算术的方法，由于利用“无理数”作不可互约的
长度的比数，很快就发展起来。这种无理数，证明与算术的规则相符，远在
近年来找到圆满的定义与解决不可约的问题以前，就被人们深信不疑地加以
采用了。
我们还可以概括地谈谈现代数学家怎样构成无穷大的理论，使芝诺以来
的哲学家所争论不已的疑难问题，归于消失。这个问题本质上是数学问题，
①
Our Knowledge of the External World； p。205。
在数学的方法尚不够精深以前，这个问题是无法研究，甚至于提不出来的。
无穷级数与无穷大，在现代数学的初期，即已出现。它们的性质，有些
希奇，但数学家并不以无穷大的观念为虚幻，而继续应用它们，后来终于为
他们的方法找到逻辑根据。
关于无穷大的困难，一部分是由于字义的误解。这种误解，是由于把数
学上的无穷大，与非数学家的哲学家所想象的无限（一种有些模糊的观念，
与数学问题毫不相干），混为一谈。照字源说：“无穷大”的意义，是没有
止境。但是有些无穷级数（例如现在以前的过去时刻组成的级数，又如无穷
个点组成的线段）有止境，有些则没有，又有些数的集合，虽为无穷，而非
级数。
其他困难，是由于想把有限数的某些特性，如可以数清的特性等，应用
于无穷数。无穷级数虽其项数不可胜数，但可由其自身数类的性质而识别。
并且一个无穷数，不因有所加减，甚至乘除，而变大或变小。现在把所有数
字1，2，3，。。书一横行，而将所有偶数2，4。6，。。在其下面另书一横
行。两行数字的数目相等，但下行乃从所有数的无穷集合中，取去无穷个奇
数而得的。这样，全体显然不大于其部分。此种矛盾，使哲学家否认无穷数
的存在。但是所谓“大于”，其意义颇为含糊。这里的“大于”，乃“含有
较多项”的意义。在此意义上，全体固能等于其部分，而无自相矛盾之病。
无穷大的现代理论，是坎托在1882—3 年提出来的。他证明有无穷个不
同的无穷数，而较大及较小的观念，通常也可应用于无穷数。在此种观念不
能应用的某些情况下，必有新问题发生。例如一长线所含数学上点的数目，
与一短线所含的相等：这里所谓较大较小，并非纯粹算术的，而含有几何上
的新概念。
哲学家所遭遇的困难，大部起于假设有限数的特性，能应用于无穷数。
如果有限的时间与空间，为有限个数的时刻与点所组成，则芝诺的论据或可
正确。为了避免芝诺的矛盾，我们可以有几条出路：（1）否认时间及空间的
实在性；或（2）否认空间及时间为点与顷刻所组成；或（3）坚持认为如果
空间与时间为点与时刻所组成，则点与时刻之数为无穷。芝诺与其许多信徒
选择了第一条出路，而其他如柏格森等则选择了第二条出路。
但是根据其他的理由，无穷数，无穷级数，以及不含连续项的无穷集数
的存在，是必须予以承认的。例如我们可以按1/2，1/4。1/8 等的次序，写
列一个小于1 的分数级数，但在每两个分数之间，尚有其他分数，如7/16，3/8 等等。在此级数中，没有两个分数是相连的，而它们的总数目是无穷的。
然而在它们所有数值的总和之外还有1。因此我们必须承认在一个无穷级数
的总和之外，确还有数的存在。芝诺关于线上的点数的论述，许多可应用于
这分数的集数。我们不能否认分数的存在，因此我们为了有效地避免芝诺的
矛盾，就必须找到一个站得住脚的无穷数的理论。
数学中的无穷数，是在可以计数的数之外的。无穷数不能靠从一个数走
到下一个数的连续步骤达到。它们存在于数类中，只能以数学的术语来下定
义，用数学的方法来加以检验。但凡有资格判断的人士，都一致承认数理逻
辑及无穷数的数学理论，确实是在正确的路上前进。妄图证明感觉对象与科
学定律为虚幻的陈旧的逻辑数据，今已证明其不确了；这一问题仍然存在，
因此须另用其他方法去研究。不管许多唯心主义哲学家怎样宣讲，想用先验
的心理方法推出外界的性质，实不可能。科学的观察与归纳方法，是必需的。
归纳法
从个别的现象以求概括定律的步骤，叫做归纳法。逻辑中归纳法的部分
在实验科学中特别重要。从以前各章所述，我们知道有许多哲学家研究它，
其中以亚里斯多德及弗兰西斯·培根最为有名。
培根赞扬实验，以为用差不多是机械式的方法可以确定地建立一般性的
定律。怀疑论者休漠，则以为如果用归纳法求新知识，即使归纳法完成其应
有的任务，有时也可能得到错误的结果，因此，用归纳法所得的定律，只能
说多少是或然的，而不能认为是确定的。但不管休谟的意见如何，大多数科
学家与若干哲学家，仍以归纳法为探求绝对真理的道路，甚至穆勒也持此信
念。他把归纳法放到因果律的基础上，而认为因果律已为许多确具原因的实
例所证明。惠威尔指出，单单经验可以证明一般性（generality），但不能
证明普遍性（universdlity），但如果再加上运用必然的真理，如算术原则、
几何公理及几何演绎，则普遍性也可求得。当然，这些见解都是在非欧几里
得空间发现以前的事①。当时虽有惠威尔的警告，穆勒的见解似乎仍然代表了
当时一般的信念。正如亨利·彭加勒（Henri Poincare）所说①：。。
自一肤浅的观察者看来，科学的真理是毫无疑问的；科学的逻辑是决无
错误的；学者有时错误的原因是他未认清原则。
科学的功用，在追溯各种现象间的关系，或更恰当地说，在追溯表述各
种现象的概念间的关系。但当我们，比方说，已发现气体压力的增大，使其
体积缩小时，我们也同样可以说，气体体积的缩小，使其压力增大②。在我们
的意识看来，凡是我们先想到的变量，就是原因。由此可知原因的观念与结
果的观念是暧昧不明的。只有当此中含有时间的因素时——即当互相关联的
事件之一，在另一事件之后时——我们的意识，才本能地把前件（post hoc）。。
看做是事因（propter hoc）。但这时也不可能把一个事件的真正原因和一
长串发生在前的情况——都是该事件发生的必要条件——分开。更进一步，
相对论已经证明，在“此地—此时”的一个事件，只能成为绝对的未来中的
事件的原因，与绝对的过去中的事件的结果。在第16 图（见406 页）中的中
立区域内的事件，与一个“此地—此时”的事件，不能有因果的关系，因为
如果这样的话，其影响的传递必将超过光速才可以③。并且如果用因果原理来
证明归纳法的有效性，说明它是追寻绝对真理的响导，那末，从逻辑上来说，
这一原理自身便不能用归纳方法来加以证明。因此，穆勒的论据的基础就动
摇了。
的确，归纳方法叙述起来是很容易的，而要证明归纳在逻辑上的有效性，
则颇为困难。归纳方法确非培根式的。惠威尔指出，归纳的成功，在于出发
时须有正确的观念。洞察力，想象力，或者天才，都是需要的：首先要选择
①
惠威尔对算术的称颂可能是对的；整数间的关系似仍含有绝对的真理。或者如克隆尼克（Kronecker）所
说：“只有整数是上帝创造的，其他都是人为的。”
① H。 Poincare； LaScienceetl’Hypothese，Paris，p。 1。
②
w。C。D。Dampier…Whetham，TheRecentDevelopment of PhysicalScience， 1sted。London，1904，p。 29。
③
A。S。Eddington； TheNature of thePhysicalWorld，Cambridge，1928，P。
最好的基本概念，并把各种现象加以妥善分类，使其适于归纳的运用①；其次
要制订一个临时的“定律”，作为工作假说，再以进一步的观察及实验加以
检验。
现试以实例说明于下：亚里斯多德的物质及其特性、天然位置等等的观
念，不能用作动力学的概念；如果说它能导出些什么，它所导出的，只是些
假的结论，如重的东西坠落得较快之类。从此以后，毫无进步可言。直至伽
利略及牛顿才摈弃了整个亚里斯多德的体系，从混乱之中选择距离或长度、
时间及质量作为新的基本概念，这样才能对物质及运动加以思考。
伽利略利用距离和时间以及由此导出的速度，于一度失败之后，猜得落
体的速度与其降落时间的正确关系，推出其数学推论，并且用实验加以证实。
牛顿再添上质量的概念——本隐涵于伽利略的研究成果内——成立了运动定
律，又由此推导出动力科学。
这种动力学广泛地得到观察与实验的证明。
正确概念的重要是很明显的，有了正确的概念，再给予正确定义的重要
性也是很明显的。所以彭加勒以为我们对于时间的测量，会不自觉地选择从
正午到正午，而非从日出到日出，因为只有如此，才使牛顿的动力学成为可
能②。反对此说的人士，如怀德海及里奇（Ritchie），所以走到反对的地步，
是因为他们把意识当作仲裁者，把我们对于各段时间相等的直接感觉，当作
测量的基础①。
正确的概念既已择定，人们大概就可以象伽利略那样看出概念间的某些
关系。这些关系，或它们的逻辑推论，就可以用实验加以检验，而其中有些
将得到证明。于是简单的定律就建�
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