阿西莫夫最新科学指南-下 [美]-第79部分

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用，伽利略发现它的速度并不是一个恒定值，而是随时间增加。伽
利略的测量表明，速度和经过的时间　
t成正比。

换句话说，当一个物体在一恒定外力的作用之下，从静止开始
时，它的速度可以表示为：　


v＝kt　。　

那么　
k的值是多少呢？

从实验中很容易发现，这个值和斜面的坡度有关。斜面愈近
于垂直，球滚动的速度就愈快，　
k值也就愈大；在斜面完全垂直时，
也就是在没有减弱的引力作用的情况下，球自由落下时，速度增加
得最快。在引力没有减弱的情况下，常用　
g来表示　
k，所以一个从
静止开始的自由落体，它的速度是：　


v＝gt　。
让我们来考虑一下斜面。在这个图
中：

斜面的长度是　
AB，高度是　
AC。AC
对　
AB的比值是角度　
x的正弦，通常写
为　
sinx。

我们可以依照特定的角度绘出三角形，然后量出它的高及斜
面长度，求得　
sinx的近似值。或者是用数学的技巧，求出任一精
确角度的值。把这些值可以列成一个表，通过查阅表，我们就可得
到任一角度的值，比方说　
sin10°大约是　
0。17365，Sin45°差不多是　


0。70711等等。
有两个重要的特殊情况：假设“倾斜的”平面呈完全水平，那么
角度是零，这倾斜面的高度也是零，则高度对斜面长度的比值当然
也是零。换句话说，　
Sin0°=0。当倾斜面完全垂直时，它与底面构
成直角，或　
90°角。它的高正好等于它的长，因此两者的比率是　
1。



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因此，sin90°＝1。
现在，让我们回到由斜面滑下的球的速度与时间成正比的方
面来：　
v＝kt
实验可以证明，k值随角度的正弦而变化，因此：　
k＝k'sinx　
k'用来表示一个和　
k不等的常数。

其实，三角函数和斜面的关系，早在伽利略时代之前，就已经
由史蒂文发现，他也做了著名实验，就是把不同质量的物体从一个
高度掉下；已往大家都误认为这个实验是伽利略做的。不过，即使
伽利略不是第一位做实验和做测量的人，他也是第一位让科学界
深深了解到实验及测量之必要性的人。就这一点而言，成就已是
相当辉煌了。

在斜面完全垂直的情况下，　
sinx成了　
sin90°，其值是　
1，所以在
自由落体中：　


k＝k'
也就是说，k'是在自由落体中承受未被减弱的引力作用时的　
k
值，这个值我们已经说过用　
g来表示，我们可以用　
g来代替　
k'，因
此对于任何坡度的斜面来说：　


k＝gsinx
所以，一个由斜面上滑下的物体，其速度方程是：　
v＝（gsinx）t
在水平平面上，因为　
sinx＝sin0°=0，所以速度方程为：　


v＝0　
也可以这样说，一个在水平面上一开始就静止的球，无论经过多少
时间，都会保持不动。一个静止的物体有保持静止的倾向等等，这
是牛顿第一运动定律的一部分，是由斜面的速度方程推导出来的。


附录：科学中的数学

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假设一个球并不是从静止开始，而在开始下落之前就有一初
始运动。换句话说，假设你有一球沿水平平面以每秒　
5米的速度
滚动着，突然滚到一个斜面的上端点而开始往下滚。实验表明，在
下滚的任何时刻，球的速度要比从静止开始下滚的速度大每秒　
5
米。换句话说，一个从斜面下滚的球，它的运动方程可以更完整地
写为：　


v＝（gsinx）t　＋V　
V是起始速度。如果一个物体从静止开始，那么　
V等于零，这时
运动方程就成了我们以前写过的：　


v＝（gsinx）t
如果我们再考虑一个具有某个起始速度，而在水平平面上运
动的物体，因为角度　
x是　
0°，所以方程成为：　
v＝（gsin0°）＋V
因为　
sin0°是零，所以也可以写成：　


v＝V
因此，像这样的物体，不管时间经过多久，它的速度会始终保持起
始的速度。这是牛顿第一运动定律的另一部分，也是从观察斜面
运动推导出来的。

速度改变的快慢程度叫做加速度。比方说，一个从面上滚
下来的球，在相继的每一秒钟结束的时候，它的速度是每秒　
2、4、　
6、8……米，那么它的加速度便是　
2米每秒平方，通常写为　
2米/秒2）。

在自由落体中，如果我们用这个方程：　


v＝gt
则在每秒的下落中，速度会每秒增加　
g米。因此，g便表示由引
力造成的加速度。　


g的值可以由斜面实验来决定。我们将斜面方程改写为：


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g＝v/（tsinx）。　

由于　
v、t和　
x都可以测量，由此　
g便可算出。结果在地球表面
上，它的值是　
9。8米每秒平方。在地球表面正常引力下的自由落
体，下落速度和时间的关系便可写为：　


v＝9。8t
这就是对伽利略当初所提问题的解答，也就是决定落体的速率，以
及该速率变化的方式。

下一个问题是：在一定的时间之内，球降落了多少呢？从速度
与时间的关系方程，可以用微积分中积分的方法，导出距离及时间
的关系。然而这样做并无必要，因为这一方程可以由实验做出，而
且实际上伽利略已经做出了。

他发现，从斜面上滚下来的球所走的距离和时间的平方成正
比。换句话说，时间加倍距离会增为　
4倍；时间　
3倍则距离会增为　
9倍，依此类推。

对一个自由落体而言，距离　
d和时间的方程是：　
d＝1/2gt2
因　
g等于　
9。8，也可以写为：　
d＝4。9t2

接下去，假设物体不是由静止开始下落，而是从高空中水平地
抛出，它的运动将会由两种运动合成，一种是水平的，另一种则是
垂直的。

在水平方向上，如果我们不考虑风力、空气阻力等等，则由于
除了开始的冲力外，并没有其他任何作用力，所以根据第一定律，
是一种匀速运动，因而物体所走的水平距离跟经过的时间成正比。
然而在垂直方向上所走的距离，如同我们刚才解释过的，和时间的
平方成正比。在伽利略之前，人们含糊地相信，一个类似炮弹的抛
射体会依直线运动，直到推动它的推力用完，再垂直地落下。但伽


附录：科学中的数学

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利略却有了巨大的进展，他把这两种运动结合起来了。

这两种运动的结合（与时间成正比的水平方向运动和与时间
的平方成正比的垂直方向的运动），形成了一条叫做抛物线的曲
线。即使一个物体不是水平地被抛出，而是向上或向下抛出，其运
动的曲线仍是一条抛物线。

这样的运动曲线当然适用于像炮弹一类的抛射体，所以也有
人称之为弹道。从伽利略对弹道所做的数学分析，使我们能计算
出当一枚炮弹以一定的爆炸力量和一定的仰角发射时，它将落于
何处。虽然几千年来人们曾经为了好玩、为了觅食、为了攻击或防
御而扔东西，但是由于伽利略的实验和测量，才产生了一门叫弹道
学的科学。说来也巧，这也是现代实验科学直接用于军事的第一
项成果。

在理论上这项成果也有相当重要的应用。把一种以上的运动
加以结合的数学分析，解决了哥白尼学说的一些异议。它说明了
向上抛出的物体不会被运动着的地球甩掉，因为这个物体有两种
运动：一种是由上抛时的推力所造成，另一种则由运动的地球所造
成。这个分析立刻使我们很合理地期望地球也有两种运动：绕轴
自转和绕太阳公转；这是不相信哥白尼学说的人所无法想象的。

牛顿第二和第三定律

牛顿把伽利略的运动概念扩展到天体，证明这些运动定律在
天体中也像在地球上一样适用。

他开始考虑月球由于受到地球引力的缘故，可能朝地球降落，
但是由于运动的水平部分使它不致于撞击到地球表面。如同前面
所说的，一个水平发射的抛射体，会沿着抛物线路径向下而和地球
表面相交；但是由于地球是球体，它的表面也向下弯曲，当以足够
快的水平运动速率发射的抛射体，可能向下弯曲的速率不如地球


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表面下弯得快，因此抛射体会永远围绕着地球旋转。

现在，月球绕地球的椭圆运动可以分成水平和垂直运动两种
成分，垂直运动使月球每秒朝地球落下大约　
0。13厘米；在这段时
间里，它在水平方向移动了大约　
1　006米，足以补偿它的下落，使
它继续绕地球曲率运转。

问题是：导致月球下落　
0。13厘米和从树上掉下来的苹果在第
一秒内降落　
4。9米是否是同一引力所造成的呢？

牛顿设想，地球表面的引力，像是一个正在膨胀的大球，向各
个方向上扩展。球的表面积　
A则和半径的平方成正比：　


A＝4πr2
他因此推断：分布于球面的引力，必然随半径的平方而减弱。光和
声音的强度是随距离的平方而减弱的，引力又何以不会这样呢？

地球中心到它表面上一个苹果的距离差不多是　
6　400公里，而
从地球中心到月球则大约是　
386　000公里。由于到月球的距离比到
苹果的距离大　
602倍，所以地球对月球的引力比对苹果的引力弱　
602倍，或者说弱　
3　600倍。将　
4。9米除以　
3　600，得数约为　
0。13厘
米。因此牛顿认为，月球的确受到地球引力吸引的支配而运动。

牛顿继续考虑质量和引力的关系。一般来说，我们把质量和
重量混为一谈，但重量只是受到地球引力吸引的结果，如果没有引
力，一个物体会变得没有重量；然而，它还是保持着一定的质量。
因此，质量与重量无关，应该能够用一种不涉及重量的方法来计
量。

假设你在一个完全没有摩擦的平面上，与地球表面成水平地
拉动一个物体。虽然已经没有任何来自引力的阻力，由于物体惯
性的缘故，你仍需用力才能使这个物体移动，并加速它的运动。

如果你精确地测量所施的力，比方说，通过拉动附在物体上的
弹簧秤，你会发现使物体产生一定加速度　
a所需的力　
f和物体的


附录：科学中的数学

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质量　
m成正比。如果你把质量加倍，你便需要花两倍的力。对一
个一定质量的物体，所需施的力和想要的加速度成正比。以数学
的方式来讲，可以用这个方程来表示：　


f＝ma

这就是牛顿第二运动定律。

正如伽利略所发现的，地球的引力使所有的物体，不管轻的或
重的，都以完全相同的速率加速。空气阻力可能使非常轻的物体
的降落速度减慢，但是在真空中，一根羽毛和一铅块会降落得一样
快，这很容易证明。如果牛顿第二运动定律成立，那我们可以推出
这样的结论：地球的引力作用，对重的物体要比对轻的物体来得
大，才能产生相同的加速度。比方说，要加速一个质量是另一个物
体　
8倍的东西，则需要　
8倍的力。因此，作用于任何物体上的地球
的引力都必然和它的质量正